Кинетическая энергия системы материальных точек


Кинематика и динамика движения тела

Кинематика движения материальной точки и абсолютно твердого тела.

Положение точки в пространстве можно задавать с помощью радиус-вектора, проводимого из начала координат к точке. В декартовых координатах радиус-вектор r записывается следующим образом:

r = x×ex + y×ey + z×ez. (1.1)

Мгновенная скорость материальной точки равна

V = . (1.2)

Вектор перемещения точки за промежуток времени между моментами t1 и t2 может быть найден так:

Δr =. (1.3)

Путь (длина траектории), пройденный за промежуток времени Δt = t2 – t1, равен

.  (1.4)

Ускорение материальной точки (по определению) равно:

. (1.5)

Величину ускорения можно вычислять, пользуясь соотношениями

  или .  (1.6)

Здесь ax, ay и az – проекции ускорения на оси X, Y и Z. Во второй формуле at и an – проекции ускорения на касательное и нормальное направления к траектории в сопутствующей системе координат. При этом

, ,  (1.7)

где R – радиус кривизны траектории в данный момент времени.

При криволинейном движении материальной точки удобно пользоваться угловыми характеристиками движения. Угловая скорость

,  (1.8)

где α – угол поворота радиуса-вектора r .

Угловое ускорение, по определению, равно

β =  =  . (1.9)

Связь между линейной и угловой скоростью определяется соотношением:

V = [ω,r] . (1.10)

Вынужденные колебания. Анализ решения. Резонансные характеристики.

Рассмотрим систему, на которую действует внешняя сила  если это пружинный маятник, то уравнение движения будет иметь вид:

Рассмотрим самый важный случай, когда внешняя сила периодична. Тогда уравнение примет вид:

Для того чтобы найти решение этого уравнения, рассмотрим комплексное уравнение реальная часть которого совпадает с нашим уравнением.

 надо учесть, что

Таким образом, найденное решение уравнения вынужденных колебаний представляет собой гармонические колебания, амплитуда которых полностью определяется параметрами осциллятора и частотой  вынужденной силы. То же самое касается и начальной фазы колебаний. Уравнение, здесь полученное, не зависит от начальных условий, а поэтому не является общим и единственным. Это частное решение уравнения вынужденных колебаний. Амплитуда колебаний зависит от параметров системы и частоты  вынужденной силы. Зависимость амплитуды от «омега» называется амплитудно-частотной характеристикой системы (АЧХ).

ωR, при которой амплитуда максимальная, называется резонансной частотой. Если ω = ωR, говорят, что в системе наблюдается резонанс амплитуд. Для нахождения резонансной частоты надо приравнять к нулю

Легко заметить, что достаточно прировнять к нулю производного подкоренного выражения

 при увеличения декремента затухания  зависит от внешней силы.

Зависимость базового сдвига  от частоты  называется фазово-частотной характеристикой (ФЧХ).

Рассмотрим скорость вынужденных колебаний:

Последнее выражение называется амплитудой скорости.

Полученная зависимость называется резонансом скоростей. Для определения частоты, при которой  надо

Полученное решение уравнения вынужденных колебаний представляет собой гармоническое колебание. В §1.3 говорилось, что полная энергия гармонических колебаний сохраняется, если сумма мощностей всех не потенциальных сил будет равна нулю. В нашей системе таких сил будет две: это сила трения и внешняя сила. Как известно мощность силы будет  Мощность силы трения будет Пусть N – мощность внешней силы, отсюда

Очевидно, что среднее значение мощности вынужденной силы будет:

Так как средняя мощность частоты пропорциональна квадрату амплитуды скорости, то резонанс мощности будет происходить при той же частоте, что и резонанс скорости, то есть при собственной частоте.

Осциллятор, в котором происходят вынужденные колебания, принято характеризовать полушириной ∆ω резонансной кривой, которая определяется на уровне половины максимальной мощности.

Рассмотрим системы со слабым затуханием ∆ω << ω0, так как с уменьшением затухания ширина кривой уменьшается.

Nm = γF2/4mγ2

Nm/2 = γF2/8mγ2 = F2/8mγ

8γ2ω0 = 4ω02∆ω2 + 4γ2ω02

 При поступательном движении, когда все точки тела движутся по одинаковым траекториям, можно пользоваться формулами, определяющими кинематику материальной точки.

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям вокруг общей оси с одинаковыми угловыми скоростями. Поэтому для описания вращательного движения удобно пользоваться угловыми характеристиками.

Необходимо подчеркнуть, что разложение движения на поступательное и вращательное может быть произведено бесконечным числом способов. Ось вращения может быть выбрана произвольно. При этом какую ось мы бы ни выбрали для описания движения, угловая скорость будет иметь одно и то же значение. В ряде случаев удобно выбирать эту ось так, чтобы она проходила через центр масс тела.

Зависимость скорости от времени получим, диф-ференцируя равенство (8):

. (9)

Полученные зависимости представлены графически на рисунке и имеют ясный физический смысл, который мы предлагаем продумать читателю самостоятельно.

Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды и перпендикулярной берегам скоростью Vотн = 0,3 м/с. Ширина реки равна H = 63 м. Скорость течения изменяется по параболическому закону , где y – расстояние от берега, u0 – константа, равная 5 м/с. Найти снос лодки L вниз по течению от пункта ее отправления до места причаливания на противоположном берегу.

Задача

Точка А находится на ободе колеса радиуса R, которое катится без проскальзывания с постоянной скоростью V0 по горизонтальной плоскости. Найти скорость точки А, написать уравнение траектории (в параметрической форме), по которой движется точка А и её путь за один оборот колеса.

Решение

Рассмотрение будем вести относительно системы отсчёта, связанной с Землей. Систему координат расположим, как это показано на рисунке. Движение обруча – плоское. В частности оно может быть представлено как совокупность поступательного перемещения со скорость движения оси колеса V0 и вращения с угловой скоростью  относительно неё.

Атом в молекуле, совершая так называемые “маятниковые колебания”, движется по дуге окружности радиуса R по закону S = S0coswt (S – длина дуги). Найти полное ускорение атома в точках S = 0 и S = ±S0. R = 10-7 см, S0 = 10-8 см и w = 1013 с-1.

Частица движется по круговой орбите радиуса R так, что зависимость угла поворота радиус-вектора от времени имеет вид: j(t) = a + bt - ct2. Найти зависимость от времени: 1) угловой скорости, 2) линейной скорости, 3) тангенциального ускорения, 4) нормального ускорения и 5) полного ускорения частицы.

Шар вращается вокруг оси, проходящей через его центр с помощью электромотора с частотой n = 1800 об/мин. После выключения электромотора шар, вращаясь равнозамедленно, совершил N = 150 оборотов и остановился. Сколько времени прошло с момента выключения до остановки.

Зависимость координат частицы от времени имеет вид: x = А×cosωt, y = А×sinωt и z = 0 (А и ω - константы). Определить радиус-вектор r, скорость V и ускорение а частицы, а также их модули.

а) Найти скалярное произведение векторов r и V. Что означает полученный результат?

б) Найти скалярное произведение векторов r и а. Что означает полученный результат?

в) Записать уравнение траектории частицы.

г) В каком направлении движется по траектории частица?

д) Охарактеризовать движение частицы.

Примеры решения задач

Небольшой металлический шарик массы m = 4 мг помещен в высокий сосуд с водой и отпущен без толчка. Считая, что сила сопротивления воды пропорциональна скорости движения шарика (r = 9×10-6 Н×с/м), найти закон изменения скорости шарика от времени V(t).

Решение.

Укажем, прежде всего, все силы, действующие на шарик: mg – сила тяжести, FА – архимедова сила, Fс – сила сопротивления (вязкого трения) со стороны воды. Выберем инерциальную систему отсчёта, связанную с Землёй. Поскольку движение является одномерным, достаточно использовать всего одну координатную ось Z, направленную вертикально вниз (см. рис.).

Однородное электрическое  (Е = 300 В/м) и магнитное (В = 10-4 Тл) поля направлены взаимно перпендикулярно. Каковы должны быть направление и величина скорости электрона, чтобы его траектория была прямолинейной?

Решение.

Движение электрона будет прямолинейным в случае, если у него отсутствует ускорение или оно совпадает по направлению с вектором начальной скорости электрона. Последний случай не может быть реализован, т.к. со стороны магнитного поля на движущуюся заряженную частицу действует сила Лоренца:

,

где V – скорость движения частицы, q – её заряд. Как видим, эта сила направлена перпендикулярно вектору скорости. Ускорение электрона может быть равно нулю, если сила Лоренца окажется скомпенсирована силой, действующей на электрон со стороны электрического поля – Fe = qE. Часто как раз силу, действующую на заряженную частицу в одновременно существующих электрическом и магнитном полях, называют обобщенной силой Лоренца:

Выберем инерциальную систему отсчёта связанную с Землёй. Направим одну из координатных осей этой системы отсчёта горизонтально вдоль поверхности стола (OX) и другую – перпендикулярно к ней (OY). Укажем на рисунке все силы, действующие на груз и доску в условиях данной задачи. Далее запишем уравнения движения груза и доски в проекциях на выбранные оси координат:

Задача № 1.

Мяч брошен со скоростью    под углом  к горизонту. На какую высоту h поднимется мяч? На каком расстоянии l от места бросания он упадёт на землю? Какое время t он будет в движении?


Второе правило Кирхгофа правило контуров