Кинетическая энергия системы материальных точек


Кинематика и динамика движения тела

Для моментов инерции плоского тела справедлива теорема:

Iz = Ix + Iy , (3.6)

где X, Y и Z взаимно перпендикулярные оси, Ix , Iy и Iz – моменты инерции тела относительно этих осей. При этом ось Z перпендикулярна плоскости тела, а само тело расположено в плоскости XOY.

 Физический смысл момента инерции – это мера инертности тела при вращательном движении.

Определение момента силы относительно точки О:

N = [r,F], (3.7)

где r – радиус-вектор проведенный из точки О в точку приложения силы F. При решении задач полезным бывает запись выражения для момента силы относительно оси – проекции вектора N на ось, проходящую через точку О:

Nz = R×F^. (3.8)

Здесь R – расстояние от оси до точки приложения силы, F^ – составляющая силы, перпендикулярная оси вращения и радиус-вектору r.

 Основной закон динамики вращательного движения твердого тела является частным случаем уравнения моментов.

Более общим случаем является плоское движение твердого тела. С позиции кинематики такое движение можно представить как совокупность поступательного и вращательного движений (см. §1). Динамику поступательного движения, как известно, можно описать вторым законом Ньютона для материальной точки или уравнением движения центра масс. Для описания вращательного движения следует применять уравнение моментов или ”второй закон Ньютона для вращательного движения твердого тела”.

 Очень важно напомнить, что законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Это относится также и ко “второму закону Ньютона для вращательного движения”. Поэтому при выборе оси, относительно которой будут вычисляться моменты сил, инерции и импульса, необходимо внимательно следить за тем, чтобы ось была неподвижной или двигалась равномерно.

 Частным случаем сложного движения твердого тела является плоское движение, при котором все точки твердого тела движутся в параллельных плоскостях. В этом случае направление оси вращения остается неизменным, и не изменяются также направления угловой скорости и углового ускорения. По этой причине уравнения движения достаточно записывать в скалярной форме (в проекциях на ось).

 Кроме того, если ось вращения выбрать так, чтобы она проходила через центр масс тела, то “второй закон Ньютона для вращательного движения” можно применять даже в том случае, если эта ось движется с ускорением. Это утверждения доказывается в теоретической части курса.

Волновой пакет

Рассмотрим две монохроматические волны, которые распространяются вдоль оси х с разной частотой и разным волновым вектором.

f1 = Acos(ω1t - k1x)

f2 = Acos(ω2t – k2x)

f(x,t) = 2Acos(ωmt – kmx)cos(ωst – ksx)

В следующий момент времени вся картина сместится вдоль оси х, причем с разной скоростью будут перемещаться огибающая и наполняющая.

Для определения скорости огибающей надо продифференцировать условие постоянства фазы:

 

ωm – km(dx/dt) = 0

dx/dt = ωm/km

Точно так же можно найти скорость наполняющей, причем эти скорости могут не совпадать. Рассмотрим большое количество монохроматических плоских волн с различной частотой и волновым вектором, которые распространяются вдоль оси х. Пусть интервал между соседними частотами будет одинаковым:

ω1 – ω2 = ω2 – ω3 =…= δω

∆ω = ωN – ω1 = δω(N-1)

Пусть интервал между соседними волновыми числами тоже одинаков:

 

Δk = k2 – k1 = k3 - k2

Это возможно только в одном случае: когда нет дисперсии, то есть фазовая скорость постоянна. стоимость визуализации

Vp = ω/k = const

Тогда волновая функция будет:

f(x,t) = Acos(ω1t – k1x) + Фcos(ω2t – k2x) +… = A0[sin((∆ωt - ∆kx)/2)/(∆ωt - ∆kx)/2]  cos( ωst - ksx)

Мы получили волновую функцию, амплитуда которой будет зависеть от времени и координат.

 ∆kx1 = 2П

 Таким образом, при сложении большого числа монохроматических волн с различной частотой мы получили волновую функцию, ограниченную в пространстве. Такая функция – волновой пакет. За протяженность волнового пакета выбирается половина расстояния между ближайшими максимуму нулями. Протяженность волнового пакета и интервал волновых чисел, образующих его монохроматических волн, связаны между собой соотношением:

∆k∆x = 2П

Следует заметить, что это равенство получено при определенных условиях.

Любой волновой пакет можно представить в виде суммы монохроматических волн:

f(x,t) = ∫A(k)cos(W(k)t – kx)dk

ω = W(k) – дисперсионное соотношение

Рассмотрим поведение волнового пакета в следующие моменты времени. В следующий момент времени t > t = 0 все складываемые волновые функции сместятся вдоль оси х на одинаковое расстояние, так как в отсутствии дисперсии скорости одинаковы. В результате сумма этих волновых функций тоже сместится на то же расстояние.

Скорость перемещения волнового пакета будет совпадать с фазовой скоростью волн, при этом очевидно, что форма волн пакета неизменна.

Если фазовые скорости различны для разных волн (есть дисперсия), то волновой пакет будет деформирован при распространении, и скорость его движения будет отлична от фазовой скорости волны.

Задача № 3.

Через неподвижный блок в виде однородного сплошного циллиндра массой m = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами m1 = 350 г и m2 = 550 г. Пренебрегая трением в оси блока, опеределите:

ускорение груза;

отношение сил натяжения нити.


Второе правило Кирхгофа правило контуров