Кинетическая энергия системы материальных точек


Кинематика и динамика движения тела

Кинетическая энергия. 

Кинетическая энергия Т материальной точки равна

 . (4.6)

Кинетическая энергия системы материальных точек, в том числе и твердого тела, равна сумме кинетических энергий точек, входящих в систему:

 . (4.7)

Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении записывается так же, как и для материальной точки.

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг фиксированной оси, как можно показать, оказывается равной

  , (4.8)

где Iz – момент инерции тела относительно оси вращения Z, w – его угловая скорость.

 При сложном движении твердого тела его кинетическая энергия может быть представлена в виде суммы кинетических энергий поступательного и вращательного движений.

Это относится и к плоскому движению твердого тела. Для вычисления кинетической энергии тела при плоском движении удобно пользоваться формулой

T = . (4.9)

Здесь М – масса твердого тела, Vc – скорость  его центра масс, Ic – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, и w – угловая скорость вращения. Очень важно помнить, что эта формула справедлива только тогда, когда ось вращения проходит через центр масс тела.

Дифракция. Признак Гюйгенса

 Рассмотрим точечный источник излучения , от которого распространяются сферические волны, и который находится на большом расстоянии от экрана с отверстием. Величина отверстия . Определим волновую функцию точки , которая также находится на большом расстоянии от экрана, но с другой стороны.

 Гюйгенс предположил, что волновая функция в точке , будет складываться из волновой функции источника  и волновой функции от экрана :

 Если отверстие в экране закрыто пробкой, то волновая функция в точке  будет складываться из волновой функции от источника и волновой функции от экрана с отверстием:

 В результате сложения волновых функций в точке  волновая функция будет равна нулю.

 Волновая функция в точке  будет с точностью до знака совпадать с волновой функцией, излучаемой только пробкой. Каждую точку волнового фронта в отверстии экрана рассматривать как источник вторичных волн. Волновая функция в точке  будет равна сумме вторичных волн.

 Для того чтобы определить волновую функцию в точке , заметим, что волновой фронт в отверстии экрана можно считать плоским, так как источник находится на очень большом расстоянии от него. Разобьем поверхность волнового фронта на точечные источники излучения. Каждый источник излучает сферическую волну с одинаковой амплитудой, частотой и одинаковой начальной фазой, которую будем считать равной нулю. Так как точка  находится в волновой зоне, то можно допустить, что амплитуды волновых функций от каждого источника одинаковы.

 Для того чтобы определить амплитуду волновой функции:

,

Получим

Тогда

 При рассмотрении открытой части волнового фронта мы предположили, что источников очень много:

 

Получим:

 Амплитуда будет равна нулю, если

 - условие минимума

Если , , то мы получим условие максимума

 Полученный пучок излучения принято характеризовать угловой шириной, или расходимостью пучка . За величину выбирается половина расстояния между ближайшими к нулю нулями амплитуды.

Размер изображения отверстия на экране будет  будет значительно превышать геометрическое изображение отверстия. Проникновение изображение в область геометрической тени называется дифракцией.

Примеры решения задач

Потенциальная энергия частицы, находящейся в центрально-симметричном силовом поле, имеет вид:

U(r) = а/r2 - b/r,

где a и b – положительные константы. а) Найти значение r0, соответствующее равновесному положению частицы, б) выяс-нить, устойчиво ли это положение, в) найти максимальное значение силы притяжения, г) изобразить графики зависимости U(r) и Fr(r) – проекции силы на радиус-вектор r.

Задачи для самостоятельного решения.

Тело массой m движется под действием постоянной силы F. Найти зависимость его кинетической энергии Т от времени, если начальная скорость тела равна нулю.

Маховик вращается с постоянной скоростью, делая n0 = 10 об/с; его кинетическая энергия T0 = 8·103 Дж. За какое время постоянный вращающий момент сил N = 50 Н·м, приложенный к этому маховику, увеличит его угловую скорость в два раза?

Какую работу надо совершить, чтобы увеличить частоту оборотов маховика от 0 до 120 об/мин? Массу маховика m = 0,5 т можно считать распределённой по ободу диаметром D = 1,5 м. Трение не учитывать.

Определить потенциальную энергию U сжатой пружины как функцию ее деформации x, считая, что упругая сила пропорциональна третьей степени величины деформации с коэффициентом пропорциональности b.

Задача № 3.

Через неподвижный блок в виде однородного сплошного циллиндра массой m = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами m1 = 350 г и m2 = 550 г. Пренебрегая трением в оси блока, опеределите:

ускорение груза;

отношение сил натяжения нити.


Второе правило Кирхгофа правило контуров