Кинетическая энергия системы материальных точек


Электростатика Законы постоянного тока

Законы сохранения импульса, энергии и момента импульса.

Элементы гидродинамики.

Закон сохранения импульса.

По определению, импульс материальной точки (МТ) равен:

 p = DmV, (5.1)

где Dm – масса МТ, а V – вектор ее скорости.

 Импульс физической системы (системы материальных точек) определяется как векторная сумма импульсов точек, образующих систему: Взаимодействие нуклонов Квантовая физика учитывает квантовые свойства поля: всякому полю должна соответствовать определенная частица — квант поля, которая и является переносчиком взаимодействия. Одна из взаимодействующих частиц испускает квант поля, другая его поглощает. В этом и состоит механизм взаимодействия частиц. Существенно, что обмен частицами лежит в основе вообще всех взаимодействий частиц и является фундаментальным квантовым свойством природы (например, электромагнитные взаимодействия осуществляются путем обмена фотонами). Основы электронной теории магнетизма. Магнитные моменты атомов и молекул. Атомы всех веществ состоят из положительно заряженного ядра и движущихся вокруг него отрицательно заряженных электронов. Каждый движущийся по орбите электрон образует круговой ток силы , – частота обращения электрона вокруг ядра

  P = S pi = S DmiVi , (5.2)

где суммирование ведется по всем точкам системы.

 Можно показать, что импульс системы тел, в частности, импульс твердого тела равен:

 P = (SDmi)×Vc , (5.3)

т.е. умножением суммарной массы (Smi) системы на вектор скорости Vc центра масс системы.

  Закон сохранения импульса утверждает: если векторная сумма внешних сил, действующих на систему в любой момент времени равна нулю, то полный импульс этой системы постоянен во времени. Закон сохранения импульса оперирует векторными величинами, поэтому он может быть сформулирован и в проекции на отдельные направления в пространстве. Если существует какая-нибудь неподвижная ось, в проекции на которую сумма внешних сил равна нулю, то компонента импульса системы вдоль этой оси постоянна.


Закон сохранения момента импульса. 

Моментом импульса МО материальной точки относительно какой-либо точки О в пространстве называется величина:

 MО = [r,DmV]. (5.4)

Здесь r – радиус-вектор, проведенный из точки О к материальной точке; Dm – масса МТ; V – вектор ее скорости.

Моментом импульса системы материальных точек относительно точки О называется векторная сумма моментов импульса всех МТ, входящих в рассматриваемую систему:

 MО = å[ri,DmiVi], (5.5)

где суммирование ведется по всем МТ системы.

Моментом импульса относительно оси Z называется проекция на эту ось момента импульса MO относительно какой-либо точки О, лежащей на этой оси.

При вращении твердого тела относительно оси Z момент импульса относительно этой оси равен

 Mz = Izw, (5.6)

где Iz – момент инерции тела относительно оси Z , а w – угловая скорость.

Закон сохранения момента импульса утверждает: если в любой момент времени сумма моментов внешних сил, действующих на тела системы относительно неподвижной точки пространства равна нулю, то полный момент импульса этой системы постоянен во времени.

Уравнение Шредингера.

Как было показано в § 2.1, волновая функция – это решение волнового уравнения, поэтому для волновой функции де Бройля мы можем написать точно такое же уравнение, как в § 2.1:

 

∂2ψ/∂t2 – Vp2Δ2ψ = 0

Рассмотрим волновую функцию в виде монохроматической волны, то есть с ω = const, которая в нашем случае будет ω = E/t. Тогда волновую функцию можно представить в виде:

φ(R,t) = Aei(kR- ωt) = φ(R)e-iωt

Подставим функцию в уравнение

-ω2φ(R)e-iωt - Vp2 e-iωt Δ2 φ(R) = 0

-ω2φ(R) - Vp2 Δ2 φ(R) = 0

Vp2 = ω/k = ħ2ω2/p2 = ħ2ω2/2m(E-u)

ω2φ + ħ2ω2/2m(E-u)

(ħ2/2m) Δ2 φ(R) + (E-u) φ(R) = 0

Это уравнение Шредингера для независящей от времени части волновой функции частицы φ(R) и часто называется стационарным уравнением Шредингера.

Умножим это уравнение на e-iωt

(ħ2/2m) Δ2 ψ(R,t) + E ψ(R,t) – uψ(R,t) = 0, где ψ(R,t) = φ(R)e-iωt

∂ψ/∂t = -iωψ = (-iE/ħ)ψ

Eφ = iħ(∂ψ/∂t)

iħ(∂ψ/∂t) + (ħ2/2m) Δ2 ψ – uψ = 0

Полученное уравнение называется уравнением Шредингера. Рассмотрим комплексно-сопряженное уравнение Шредингера.


 iħ(∂ψ/∂t) + (ħ2/2m) Δ2 ψ – uψ = 0 

-iħ(∂ψ*/∂t) + (ħ2/2m) Δ2 ψ* – uψ* = 0

iħ(ψ*(∂ψ/∂t) + ψ(∂ψ*/∂t)) + (ħ2/2m)(ψ*Δ2ψ - ψΔ2 ψ*) = 0

iħ(∂ψ/∂t)(ψψ*) + (ħ2/2m) Δ(ψ*Δψ - ψΔψ*) = 0

Δ(ψ*Δψ - ψΔψ*) = Δψ*Δψ + ψ*Δ2ψ – ψΔψ* - ψΔ2ψ*

 

Тогда уравнение (∂ψ/∂t)(ψψ*) + (ħ2/2mi) Δ(ψ*Δψ - ψΔψ*) = 0 по внешнему виду напоминает уравнение непрерывности. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим волновую функцию в виде плоской монохроматической волны:

φ = Aei(kR- ωt) = F(t)eikR

Подставим

(ħ/2mi) Δ(ψ*Δψ - ψΔψ*) = (ħ/2mi) Δ(F* e-ikR - FikeikR – FF*e-ikR (-k)) = (ħ/2mi)Δ(2kψψ*) = Δ((ħk/m) ψψ*) = Δ(V ψψ*)

ħk = P = mV

То есть полученное уравнение действительно совпадает с уравнением непрерывности, где вместо ρ надо ставить ψψ* = |ψ|2, а V – скорость частицы. Уравнение непрерывности выполняется для любой величины, где ρ – плотность заряда или вещества (материи). Такую же роль в квантовой механике играет ψ.

Квадрат модуля волновой функции ψψ* = |ψ|2  можно рассматривать, как плотность вероятности обнаружить частицу в интервале R ÷ R+dR. Вследствие этого волновая функция обладает таким свойством:

* Условие нормировки ∫|ψ|2dR = 1, для выполнения которого необходимо, чтобы

ψ(R)=>0; R =>±∞ и волновая функция и ее производные должны быть непрерывны.

Будем считать, что потенциальная энергия обусловлена взаимодействием частиц друг с другом, а также с внешними стационарными полями. Тогда закон сохранения энергии может быть сформулирован следующим образом: если в системе тел и на систему действуют только консервативные силы, то полная механическая энергия этой системы постоянна во времени.

Изменение полной энергии системы равно работе неконсервативных сил, в частности, сил трения.

Примеры решения задач

Вертикальный столб длины l подпиливается у нижнего основания и падает, поворачиваясь вокруг опирающегося на землю нижнего конца. Какова линейная скорость центра масс столба в момент падения на землю?

Решение

Ответ на вопрос задачи можно искать двумя способами. В первом используется закон сохранения механической энергии, во втором – теорема о кинетической энергии. Конечно, отличие этих подходов определяется лишь выбором системы тел, включаемых в рассматриваемую систему.

а) Пусть система состоит из столба и Земли, на поверхность которой столб опирается нижним концом. Тогда сила тяготения между этими телами – внутренняя сила системы, а сама система замкнута (внешние силы не действуют). Так как сила гравитационного взаимодействия консервативна, а сопротив-лением воздуха мы будем пренебрегать, то полная механическая энергия системы не изменяется во времени вплоть до момента падения столба на землю (неупругий удар). Запишем равенство исходной энергии системы и механической энергии столба в произвольный момент времени до падения:

б) По теореме о кинетической энергии её изменение равно работе над телом внешней силы

DТ = А12.  (6)

Посмотрим, какой результат даёт применение этой теоремы к рассматриваемому случаю. В процессе падения столба его кинетическая энергия увеличивается благодаря действию момента силы притяжения Землёй. Проекция момента этой силы на ось Z равна . Работа силы при повороте твёрдого тела относительно оси равна

 .

При падении столба угол меняется от 0 до p/2. Следовательно:

 . (7)

Изменение кинетической энергии равно её значению в момент падения столба:

.  (8)

Сравнивая правые части выражений (7) и (8) получаем максимальную угловую скорость падения

(Крутильный баллистический маятник). К потолку на тонкой проволоке подвешен однородный деревянный стержень массы  M = 400 г (рис.). Модуль кручения проволоки равен D = 0,3 Н×м/рад. В конец стержня попадает пуля массы m = 10 г, летевшая горизонтально и перпендикулярно стержню. С какой скоростью летела пуля, если пуля застревает в стержне, и он поворачивается на максимальный угол 0 = 0,8 рад?

Решение

Два одинаковых цилиндрических бака соединены узкой трубкой с краном посредине. Радиус баков R = 20 см, радиус трубки r = 1 мм. Длина трубки l = 1 м. Проходное отверстие крана совпадает с сечением трубки. В один из баков налита вода до высоты h = 50 см, второй бак был вначале пустой. В момент времени t = 0 кран открывают. Определить: 1) характер течения воды в трубке в первые секунды, 2) время t, по истечении которого разность уровней воды в баках уменьшается в e раз. Вязкость воды принять равной h = 1·10-3 Па×с.

Решение:

Характер течения воды в трубке определяется числом Рейнольдса:

  (1)

Значение скорости воды V можно получить из формулы Пуазейля:

 (2)

где Q - объем воды, протекающий через поперечное сечение трубки за одну секунду. Выражая из последнего равенства V, получаем:

Задачи для самостоятельного решения.

Два протона с энергией T = 0,5 МэВ каждый летят навстречу друг другу и испытывают «лобовое столкновение». До какого минимального расстояния r они могут сблизиться, если учитывать только электрическое взаимодействие между ними? 

Груз положили на чашку весов без толчка. Сколько делений n0 покажет стрелка весов при первоначальном отбросе, если после успокоения качаний она показывает n1 = 5 делений. Весы можно представить себе в виде пружинного динамометра.

Движущаяся частица претерпевает абсолютно упругое столкновение с покоящейся частицей такой же массы. Доказать, что после столкновения, если оно не было лобовым, частицы разлетятся под прямым углом друг к другу. Как будут двигаться частицы после центрального удара?

Навстречу друг другу летят две частицы с массами m1 и m2. Между ними происходит неупругий удар. Известно, что кинетическая энергия первой частицы в n = 20 раз больше, чем у второй. При каком соотношении масс после удара частицы будут двигаться в сторону частицы с меньшей энергией?

Может ли произойти ионизация атома 133Cs ударом атома 16O с кинетической энергией T0 = 4 эВ? Энергия ионизации eион = 3,9 эВ.

Задача № 2.

Два груза () связаны невесомой нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К грузу m1 приложена горизонтально направленная сила F = 6 Н.

Пренебрегая трением, определите:

ускорение грузов;

силу натяжения нити.

Описание: Описание: C:\Temp\SNAGHTML98a8df.PNG


Второе правило Кирхгофа правило контуров