Кинетическая энергия системы материальных точек


Электростатика Законы постоянного тока

Теорема Гаусса.

Основным законом электростатики является закон Кулона, устанавливающий силу взаимодействия F между двумя точечными зарядами q1 и q2 (размерами этих зарядов можно пренебречь по сравнению с расстоянием r между ними). В системе CИ закон Кулона записывается следующим образом:

  . (6.1)

Cила взаимодействия между зарядами направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды. При этом между одноименными зарядами возникает сила отталкивания, между разноименными – сила притяжения. Величина e0 = 8,85 × 10-12 Ф/м называется электрической постоянной, e - диэлектрическая проницаемость среды, окружающей эти заряды.

Электрическое поле – область пространства, в пределах которого осуществляется силовое действие на электрические заряды. Электрическое поле порождается электрическими зарядами.

Напряженность электрического поля Е определяется силой, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля: Выход ядерной реакции В ядерной физике вероятность взаимодействия принято характеризовать с помощью эффективного сечения σ. Наглядно σ интерпретируется как площадь сечения ядра X, попадая в которую налетающая частица вызывает реакцию.

E = . (6.2)

Для электрических полей выполняется принцип суперпозиции, который заключается в следующем: напряженность поля системы зарядов Е равно векторной сумме напряжённостей полей Еi зарядов, составляющих эту систему:

E = . (6.3)

Следствием закона Кулона является теорема Гаусса, в соответствие с которой поток вектора напряженности электрического поля ФЕ в вакууме через замкнутую поверхность S пропорционален алгебраической сумме зарядов, расположенных в области пространства, ограниченной этой поверхностью. Коэффициент пропорциональности в системе СИ равен :

. (6.4)

Напомним, что потоком dФ вектора E через элемент поверхности dS является величина: dФ = EdScosa, где a - угол между вектором Е и нормалью n к элементу поверхности dS.

 С учетом этого утверждение теоремы Гаусса (6.4) можно переписать окончательно в виде:

. (6.5)

Если заряд распределён непрерывно в области пространства W, ограниченной поверхностью S, то

. (6.6)

Следует отметить, что практическое применение теоремы Гаусса (расчет напряженности электрического поля) ограничивается лишь случаями определённой симметрии распределения зарядов: плоской, цилиндрической и сферической.

Энергия электромагнитного поля. Вектор Умова-Пойнтинга.

Рассмотрим некоторый замкнутый объем, ограниченный поверхностью S, в котором существует электромагнитное поле. Предположим, что это поле обладает энергией, плотность которой u. Тогда полная энергия электромагнитного поля будет ∫udV.

Вычислим скорость изменения энергии: (∂/∂t) ∫udV.

Изменение энергии в объеме V может происходить по двум причинам:

за счет переноса энергии

за счет мощности всех сил, действующих в системе

Для вычисления энергии, переносимой через поверхность S, введем вектор uV, где V – скорость переноса энергии, который называется вектором плотности потока энергии. Тогда энергия, переносимая в единицу времени через поверхность площадью dS, будет uVdS.

Так как это будет энергия, выносимая из объема, то за единицу времени энергия в объеме уменьшается на величину -∫uVdS (по замкнутой поверхности).

Если внутри объема V имеются электрические заряды, то электрическое поле будет совершать работу, что приведет к уменьшению энергии поля (работа магнитного поля равна нулю). Как мы знаем, мощность электрических сил в единице объема будет jE, поэтому за единицу времени энергия электромагнитного поля в объеме V уменьшится на величину -∫ jEdV, тогда

∫(∂u/∂t)dV = -∫(по замк. объему)uVdS - ∫ jEdV

∫(∂u/∂t)dV + ∫∆(uV)dV = - ∫ jEdV, так как это равенство должно быть выполнено для любого объема V, то

(∂u/∂t) + ∆(uV)= - jE

Рассмотрим уравнение Максвелла в среде:

∆E = ρ/ε0

∆B = 0

∆×E = -(∂B/∂t)

∆×B = (j/ε0c2) + (1/c2) (∂E/∂t)

- jE = (ε0(∂E/∂t) - ε0c2∆×B) E

Рассмотрим ∆(E ×B)

∆(E ×B) = ∆ε(E ×B) + ∆B(E ×B) = B(∆×E) – E(∆×B)

-jE = 0,5ε0(∂E/∂t)2 + ε0c2 (∆ (E ×B) – B(∆×E)) = (∂E/∂t) (0,5ε0E2 + 0,5ε0c2B2) + + ε0c2∆(E ×B) = (∂u/∂t) + ∆(uV)

Сравнивая полученные выражения, находим, что плотность энергии электромагнитного поля будет:

u = 0,5ε0E2 + 0,5ε0c2B2

Вектор плотности потока:

S = ε0c2 E×B  - вектор Умова-Пойнтинга 

Чтобы убедиться, что полученные результаты верны, вспомним §2.13:

BC = E; u = ε0 E2

S = ε0c2 E×B = ε0c|E×B|Vp = ε0E2 Vp = uVp

|Vp| = с

Таким образом, электромагнитное поле облагает энергией, плотность которой будет:

u = 0,5ε0E2 + 0,5ε0c2B2

Примеры решения задач

Найти напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженным тонким стержнем 5длиной 2a на рас-стоянии R от его середины. Плотность заряда на стержне l > 0.

Решение.

В этом примере воспользуемся принципом суперпозиции электрических полей и разобьём стержень на малые элементы dx (dx << R). Из точки А они представляются точечными зарядами величиной dq = ldx.

Напряженность электрического поля, создаваемого в точке А только этим элементом стержня определяется соотношением

Задача обладает цилиндрической симметрией, в соответствие с которой линии электрического поля могут представлять собой либо окружности в плоскости перпендикулярной стержню и с центрами на нём, либо иметь радиальное направление в указанной плоскости. С учётом свойств электростатического поля силовые линии не могут быть замкнутыми, следовательно, остаётся вариант с радиальным расположением (см. рис.).

Далее, нужно выбрать замкнутую поверхность интегри-рования S в (6.9), чтобы на её отдельных участках вектор Е был перпендикулярен нормали к поверхности, а на других параллелен ей и постоянен по модулю. Таким свойством обладает цилиндр, коаксиальный с рассматриваемым стержнем, который сверху и снизу закрыт круговыми основаниями (Sосн). Поток вектора Е через такую замкнутую поверхность:

Задача

Определить напряженность электрического поля Е на оси тонкого равномерно заряженного диска радиуса R. Поверхностная плотность заряда диска равна s.

Решение:

При решении этой задачи воспользуемся также принципом суперпозиции. Для этого диск разбивается на кольца радиуса r и шириной dr. Тогда для напряженности поля такого кольца dE(x) можно записать (см. задачу 6.3):

Задачи для самостоятельного решения.

Найти силу, действующую на точечный заряд q = 3×10-7 Кл, расположенный в центре равномерно заряженного полу-кольца радиуса R = 0,2 м и имеющего заряд Q = 10-5 Кл.

Определить напряженность электрического поля Е вдоль оси однородно заряженного тонкого прямого стержня длиной l = 0,5 м и зарядом q = 10-6 Кл на расстоянии х = 0,5 м от конца стержня.

Определить силу взаимодействия точечного заряда q c заземленной металлической пластинкой, находящейся на расстоянии а от заряда. Найти поверхностную плотность заряда s(r) на пластинке и полную величину индуцированного заряда Q на пластинке. r – расстояние от заряда до соответствующей точки поверхности пластинки. Размеры пластинки много больше расстояния а.

Полусфера заряжена равномерно с поверхностной плотностью заряда s. Определить напряженность электрического поля Е(0) в центре полусферы.

Определить, используя теорему Гаусса, напряженность электрического поля Е плоской системы зарядов с поверхностной плотностью заряда s.

Определить напряженность электрического поля E(r) цилиндрической системы зарядов с объемной плотностью заряда r; a) внутри и б) вне цилиндра. r – расстояние от оси цилиндра.

Определить напряженность электрического поля E(r) внутри и вне равномерно заряженного шара с объемной плотностью заряда r. r – расстояние от центра шара.

Задача № 2.

Два груза () связаны невесомой нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К грузу m1 приложена горизонтально направленная сила F = 6 Н.

Пренебрегая трением, определите:

ускорение грузов;

силу натяжения нити.

Описание: Описание: C:\Temp\SNAGHTML98a8df.PNG


Второе правило Кирхгофа правило контуров