Кинетическая энергия системы материальных точек


Электростатика Законы постоянного тока

Потенциал. Электроёмкость.

Электростатическое поле является потенциальным, т.е. работа при перемещении пробного заряда q0 в этом поле не зависит от траектории и определяется лишь начальным (1) и конечным (2) положением заряда. Её можно выразить через координаты начальной и конечной точек траектории. Это делается с помощью разности потенциалов j1 – j2:

A12 = q0×(j1 – j2). (7.1)

Откуда

Dj = (j2 - j1) = - =  = - = . (7.2) Последнее равенство дает связь между напряженностью поля Е и потенциалом j :

E = – gradj. (7.3)

Знак “ – “ отражает тот факт, что напряженность поля Е направлена в сторону убывания потенциала j. Механика жидкостей и газов Физика решение задач

Потенциал поля точечного заряда.

Потенциал, как и потенциальная энергия, определён с точностью до произвольной постоянной. Чаще всего (но не всегда) его определяют по отношению к бесконечно удаленной точке, потенциал которой считают равным нулю. В этом случае для расчёта потенциала точки поля 1 получим:

j1 =. (7.4)

Поскольку поле точечного заряда сферически симметрично, а интеграл (7.4) не зависит от формы траектории, интегрирование удобно вести вдоль радиального направления. Тогда интеграл (7.4) превращается в определенный по переменной r (расстояние от заряда – источника поля):

j(r) =  ==. (7.5)

Здесь q – величина точечного заряда, создающего поле с напряженностью Е(r) = .

При этом потенциал нормирован как раз так, что j ® 0, когда r ® ¥. Так можно сделать для поля заряженных тел конечных размеров. Для модельных задач о поле бесконечной плоской системы зарядов j ® ¥ при r ® ¥, и необходима иная нормировка.

Вагон шириной 2,4 м, движущийся со скоростью 15 м/с, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно к движению вагона. Смещение отверстий в стенках вагона относительно друг друга равно 6 см. Какова скорость пули?

1) 200 м/с 2) 300 м/с 3) 400 м/с 4) 500 м/с 5) 600 м/с

Дано:

b = 2,4 м

υ1 = 15 м/с

l2 = 300 м

a = 6 см = 0,06 м

Решение:

Время, за которое пуля пролетает расстояние, равное ширине

υ2 – ?

вагона, и время смещения одинаково: . Тогда .

Следовательно,  (м/с).

Ответ: [5]

По принципу суперпозиции полей потенциал системы точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых в данной точке каждым зарядом в отдельности. Это очевидно, так как:

Е = Е1 + Е2 = – gradj1 – gradj2 = – grad (j1 + j2).

Следовательно, потенциал j0 поля, создаваемого системой точечных зарядов qi, равен

j0(r) = , (7.3)

где ri – длина радиус-вектора, проведенного от i-го заряда к точке поля с координатами r{x,y,z}.

Потенциал поля проводящей сферы.

Задача

Найти силу взаимодействия двух расположенных вдоль одной прямой диполей, отстоящих друг от друга на расстояние L >> l. Дипольные моменты диполей p1 и p2.

Решение

Сила взаимодействия диполей определяется по формуле:

  где 

Таким образом:  

Задача.

Найти потенциал в точках на оси тонкого равномерно заряженного диска радиуса R. Поверхностная плотность заряда диска s.

Решение:

Разбивая диск на кольца радиусом r и шириной dr и используя результат предыдущей задачи, можно записать выражение для dj, которое определяет вклад каждого кольца в суммарный потенциал поля диска:

,

где dq = 2pr×dr×s – заряд каждого кольца.

Тогда потенциал

Задача.

Определить емкость сферического конденсатора. Радиус внутренней сферы R1, внешней – R2. Пространство между сферами заполнено изолятором с диэлектрической проницаемостью e.

Решение:

При зарядке конденсатора зарядом q в слое между сферами появляется электрическое поле с напряженностью , где r – расстояние от центра сфер. Возникшее меду сферами напряжение определяется можно определить так:

.

Емкость конденсатора С выражается как коэффициент пропорциональности между зарядом и напряжением:

a) Могут ли силовые линии электрического поля (в той его части, где отсутствуют электрические заряды) пересекаться между собой? б) Могут ли пересекаться или соприкасаться эквипотенциальные линии (поверхности), соответствующие различным потенциалам?

Определить разность потенциалов Dj между двумя коаксиальными цилиндрами радиусов R1 и R2 (R2 > R1), заряженными равномерно с плотностью заряда на единицу длины l. Краевыми эффектами пренебречь.

Разность потенциалов между двумя коаксиальными цилиндрами c радиусами R1 и R2 равна U0. Выразить через U0 разность потенциалов U(r) между внутренним цилиндром радиуса R1 и точками, находящимися на расстоянии r от оси цилиндров (R1 < r < R2).

Накаленная нить катода радиолампы испускает электроны, которые под действием электрического поля ускоренно движутся к цилиндру, по оси которого натянута нить. Радиусы цилиндра и нити равны соответственно R1 = 5 мм и R2 = 0,05 мм. Напряжение между цилиндром и нитью U = 91 В. Пренебрегая начальной скоростью электронов, определить ускорение a и скорость электронов V в точке, отстоящей от оси нити на расстоянии r = 3,5 мм. Заряд электрона q = 1,6×10-19 Кл, его масса me = 9,1×10-31 кг.

Получить выражения для емкости: a) плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием d между ними; б) цилиндрического (на единицу длины). Радиусы цилиндров R1 и R2; в) сферического конденсатора с радиусами сфер R1 и R2; R2 > R1. Конденсаторы заполнены диэлектриком с диэлектрической постоянной e.

Задача № 2.

В установке, изображённой на рисунке, угол   наклонной плоскости с горизонтом равен , массы тел m1 = 200 г и m2 = 150 г. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая силами трения, определите ускорение, с которым будут двигаться тела, если тело m2 опускается.


Второе правило Кирхгофа правило контуров