Курс лекций по математике

Интегралы и их приложения Пример Найти:  а) ; б) .

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Основные идеи заключаются в выделении в квадратном трехчлене полного квадрата и в проведении линейной замены, позволяющей свести исходный интеграл к табличным вида 10)- 16).

Приложения определенного интеграла. Как известно, криволинейной трапецией, соответствующей неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f(x),

Векторный анализ. Поверхностные интегралы. Теория поля.

Контрольная по математике. Тема Вычисление интеграла

Задача о массе поверхности. Пусть на гладкой поверхности z = z(x,y) распределена масса с поверхностной плотностью = f(x,y,z).

Поверхностные интегралы 2 рода. Пусть через замкнутую поверхность проходит поток жидкости или тепла.

Так как поверхностные интегралы 1 и 2 рода сводятся к обычным двойным интегралам, то различные задачи, которые приводят к вычислению двойных интегралов, могут быть представлены через поверхностные интегралы.

Общий принцип интегрального исчисления : формулы Грина, Стокса, Остроградского – Гаусса, Ньютона – Лейбница позволяют интегралы по некоторой пространственной области заменить на интегралы взятые по границам этой области.

Скалярное поле и его характеристики. Опр. Скалярным полем (с.п.) наз. совокупность двух множеств: множества точек пространства M и множества чисел соответствующих этим точкам, которые определяются функцией U(M).

Градиент скалярного поля. Структура выражения ( 21 ) совпадает со структурой скалярного произведения двух векторов  и  :  = axbx + ayby + azbz , если величины *U/x, *U/y, *U/z понимать как координаты некоторого вектора.

Пример Найти объем тела, ограниченного сферой x2 + y2 + z2 = 6 и параболоидом x2 + y2 = z.

Общие геометрические характеристики векторных полей. Опр. Векторными линиями поля наз. кривые, касательные к которым в каждой точке М совпадают с (M).

Если поток жидкости проходит через замкнутую поверхность, то входящие и выходящие части потока в интеграле учитываются с противоположными знаками, т.к. они по разному ориентированы относительно внешней стороны поверхности.

Ротор (вихрь) векторного поля. Опр. Циркуляцией векторного поля. (M) = {P, Q, R} вдоль замкнутой кривой L наз. криволинейный интеграл от скалярного произведения вектора поля и дифференциала радиус-вектора перемещающегося вдоль криво.

Простейшие векторные поля. а) Трубчатое или соленоидальное векторное поле, если div = 0 .

Обычный определенный интеграл есть частный случай криволинейного интеграла, когда в качестве L берется отрезок оси Ох. Поэтому свойства интегралов аналогичны.

Криволинейный интеграл 2 рода. Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки.

Приложения криволинейных интегралов 2-ого рода. Рассмотрим криволинейный интеграл 2-ого рода J = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz ( 11 ).

Формула Грина. Рассмотрим интеграл 2-ого рода по замкнутому контуру L на плоскости J = P(x,y) dx + Q(x,y) dy ( 18 ) Покажем, что интеграл ( 8 ) можно свести к двойному интегралу по области D , ограниченной контуром L.

Интегрирование функций нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства.

Двойной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение площади области интегрирования S на значение функции f() в некоторой точке, т.к. для любого цилиндрического бруса с искривленным верхом можно построить брус постоянной высоты, но с таким же основанием S и объемом V , т.е. f() = V/S. 

Преобразования плоских областей. Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.

Поверхности второго порядка. Общий вид уравнения поверхности в R3 : F(x,y,z) = 0 .

Тройной интеграл. Задача о вычислении массы тела.

При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменные рассматриваются как константы.

Определители и матрицы Контрольные вопросы:1. Определители. Правила вычисления определителей.

Действия с матрицами. 1. Суммой матриц  и  одинакового размера называется матрица  того же размера, причем , , .

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса: 1) к матрице А приписать справа единичную матрицу Е той же размерности;

Метод обратной матрицы решения систем алгебраических уравнений заключается в нахождении обратной матрицы  по одному из алгоритмов, представленных в п.4, и использовании формулы для нахождения решения системы.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса: .

Однородные системы линейных уравнений Контрольные вопросы: 1. Системы линейных однородных уравнений. 2. Фундаментальная система решений.

Предел и непрерывность. Пусть E R и a – предельная точка множества E.

Рассмотрим понятие предела функции в бесконечности. Определение 6 (предел функции в бесконечности). limx f(x) = A,если

 > 0  B() >0:  x таких, что |x| > B, выполняется |f(x)-A| < 

Пример 8. (Второй замечательный предел) e = limx (1+1/x)x Как получена данная формула можно найти в книге Зорича В.А. "Математический анализ" ч.1.

Предел монотонной функции. Определение 11 (монотонная функция). Пусть f:E  R Если для любых x1, x2  E при x1<x2 выполняется f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)), то функция f(x) возрастающая (убывающая).

Следующая теорема удобна для применения на практике при вычислении пределов. Теорема 7. Пусть f(x)~ f1(x), g(x)~ g1(x) при x a Тогда если существует предел limx af1(x)/g1(x),

Непрерывные функции Непрерывность функции в точке.

Точка a называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция не является непрерывной в данной точке. Записав отрицание определения непрерывной функции, получим определение точки разрыва: Определение 25 (точки разрыва). a - точка разрыва f, если >0 ()>0  x E : |x-a|< |f(x)-f(a)|>.

Перечислим основные глобальные свойства непрерывных функций. Теорема 10 (глобальные свойства непрерывных функций).

Ряды.Числовые ряды.

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов. 1.) Признак сравнения 1. Пусть для членов рядов (а) и (b) выполняется неравенство  0 £ un £ vn , тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость ряда  (a) и из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда (b).

Знакопеременные числовые ряды. Опр. Знакопеременным наз. числовой ряд составленный из положительных и отрицательных членов.

Радиус  сходимости. Из теоремы Абеля следует, что должно существовать такое граничное значение x =R ниже которого ряд ( 6 ) сходится, а выше расходится.

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена. Алгоритм разложения: 1) Составляем для функции f(x) ряд Тейлора ;

Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. Вычисление значений функций.

Вопрос : существует ли простая связь между суммой ряда ( 19 ) S(x) и коэффициентами разложения an , bn ? Ответ : да, т.к. cos nx , sin nx образуют систему ортогональных функций.

Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Лемма.  Интеграл от функции f(x) на симметричном интервале [-a, a] равен 0 для нечетной функции и для четной функции равен удвоенному значению интеграла по половине промежутка.

Функции комплексной переменной. Комплексные числа.

Геометрическая интерпретация КЧ. Действительному числу соответствует точка на числовой оси, а КЧ a + b i соответствует точка  M(a;b) на координатной плоскости или её радиус-вектор .

Рассмотрим извлечение корней из действительных чисел. Пусть z = a и a > 0 , т.е. перед числом а стоит множитель 1 = (cos 0 + i sin 0) или – 1 = (cos  + i sin).