Интегралы и их приложения


Интегрирование рациональных дробей и некоторых иррациональных и трансцендентных функций. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Геометрические и механические приложения определенного интеграла.

Интегралы и их приложения

Пример Найти: а) ; б) .

Решение. В задании а) подынтегральную функцию сначала упрощаем, разделив почленно каждое слагаемое из числителя на знаменатель, затем используем свойство линейности и «табличные» формулы 1)- 3):

В задании б), помимо линейности и «табличных» формул 3), 9), 1), используем формулу Ньютона-Лейбница (5.1): Метод половинного деления (или метод вилки)хорошо знаком по доказательству теоремы о промежуточном значении в курсе математического анализа.

Внесение под знак дифференциала и замена переменной. Можно заметить, что иногда часть подынтегральной функции образует дифференциал некоторого выражения, что позволяет применять табличные формулы.

Пример Найти: а) ; б) .

Решение. В примере а) можно заметить, что , а затем воспользоваться формулой 5) при u=lnx:

В случае б) , а потому в силу 11) при   получим:

Замечание 1. При внесении под знак дифференциала полезно, наряду с использованными выше, учитывать следующие соотношения:

;

.

Замечание 2. Интегралы из примера 5.2. можно было найти и с помощью замены переменной. При этом в определенном интеграле следует менять и пределы интегрирования. Преобразования в 5.2.б) выглядели бы, например, так:

В общем случае выбор замены определяется видом подынтегральной функции. В некоторых случаях рекомендуются специальные замены. Например, если в выражении присутствует иррациональность вида , то можно положить  или .

Пример 5.3 Найти:  а) ; б) .

Решение. В случае а) имеем

(после замены применили табличную формулу 11)).

При решении б) обязательно проводим замену пределов интегрирования.

5.3. Интегрирование по частям. В ряде случаев помогает «формула интегрирования по частям». Для неопределенного интеграла она имеет вид

 , (5.2)

для определенного

 , (5.3)

При этом важно учитывать следующее.

1) Если подынтегральная функция содержит произведение многочлена от x на функции , то в качестве u выбирается многочлен, а оставшееся под знаком интеграла выражение относится к dv.

2) Если подынтегральная функция содержит обратные тригонометрические () или логарифмические () функции, то в качестве u выбирается одна из них.

Пример 5.4. Найти: а) ; б) .

Решение. В случае а) применяем формулу (5.2) и второе правило. Именно, полагаем . Тогда . Далее, , а потому . Следовательно, . В полученном интеграле выделим целую часть подынтегральной функции (так поступают, когда степень числителя не меньше степени знаменателя):

.

Окончательно решение выглядит так:

В примере б) используем (5.3) и первое из правил.

Теорема Ньютона-Лейбница (доказать)

Теорема (Ньютона-Лейбница, формула) Если F(х)- есть какая-либо первообразная от непрерывной функции f(х), то справедлива формула: .

Док-во:

С одной стороны F(х) первообразная f(х). С другой стороны по Теореме об определенном интеграле с переменным верхним пределом, - первообразная f(х).

Но любые 2 первообразные от f(х) отличаются на постоянное слагаемое с=const.

Если х=а, то , но т.к. интеграл с одним пределом равен нулю, =>  0=F(a)+C.

Если х=b,то

,то  т.д.

Замечание: Теорема справедлива и для кусочно-непрерывной функции

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Основные идеи заключаются в выделении в квадратном трехчлене полного квадрата и в проведении линейной замены, позволяющей свести исходный интеграл к табличным вида 10)- 16).

Приложения определенного интеграла. Как известно, криволинейной трапецией, соответствующей неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f(x),

Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М., Наука, 1981. 2. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Шикин Е.В., Заляпин В.И. Вся высшая математика: Учебник. Т.1 - Т.6. Издательство УРСС, 2002. 3. Сборник задач по математике для втузов. Под ред. Ефимова А.В., Поспелова А.С. М., Физматлит, ч.1-4, 2001 - 2004. 4. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. М., Наука, 1999 (Физматлит, 2001).
Трехфазные выпрямители Стабилизаторы http://rustud.ru/ Примеры решения задач по физике http://256bit.ru/ Тройной интеграл вычислить