Интегралы и их приложения


Введение в математический анализ. Множества. Операции с множествами. Множество вещественных чисел. Функция. Область ее определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Комплексные числа и действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости.

Формула Грина.

Рассмотрим интеграл 2-ого рода по замкнутому контуру  L на плоскости

J = P(x,y) dx + Q(x,y) dy ( 18 )

Покажем, что интеграл  ( 8 ) можно свести к двойному интегралу по области D , ограниченной контуром L.  Во многих случаях такая замена может существенно упростить решение задачи.

Даны область D правильная в направлении оси Оу a < x <b , y1(x) < y < y2(x) и функции P(x,y) , P(x,y) / y непрерывные в этой области. Вычислим двойной интеграл

J =  =  ( 19 ) Производные обратных тригонометрических и гиперболических функций

Его внутренний интеграл Jв является интегралом от дифференциала и легко вычисляется

Jв =  =  = P(x,y2(x)) - P(x,y1(x))

В результате J распадается на сумму двух интегралов

J = P(x,y2(x)) dx - P(x,y1(x)) dx = P(x,y) dx - P(x,y) dx =

= - P(x,y) dx - P(x,y) dx

которые соответствуют криволинейному интегралу от функции P(x,y) вдоль кривых  AB и MN. Значение этого интеграла вдоль прямых BM, NA Pdx = Pdx = 0 , т.к. dx = 0 в этом случае. Поэтому справедливо равенство

J = - Pdx - Pdx - Pdx - Pdx = - Pdx

т.е. двойной интеграл J ( 10 ) по области D  равен криволинейному интегралу по замкнутому контуру, ограничивающему эту область. Направление обхода положительное.

 = - P(x,y)dx ( 20 ) 

Т.к. произвольную область D всегда можно представить в виде суммы правильных областей, то равенство ( 12 ) справедливо для D произвольной конфигурации.

Для области D правильной в направлении оси Ох и функций Q(x,y) , Q/x непрерывных в D получается равенство аналогичное ( 20 )

 = Q(x,y)dx ( 21 )

Объединим ( 20 ) и ( 21 ) и получим  формулу Грина

P(x,y)dx + Q(x,y)dy =  ( 22 )

Пр. Вычислить интеграл  J = -x2y dx + xy2 dy , где L : x2 + y2 = R2 , с помощью формулы Грина. 

 Решение. P = - x2y , P/y = - x2 ,

 Q = xy2 , Q/x = y2 , Q/x - P/y = y2 + x2

J = (y2 + x2) dxdy = {x = r cos  , y = r sin } =  = 2R4/4

Вычисление площадей.

Пусть  Q = x/2 , P = - y/2 , тогда Q/x = ½ , P/y - ½ 

 = dxdy = S(D)

 или площадь области D , ограниченная контуром L равна

S(D) = ½ x dy - y dx ( 23 )

Условие выполнения равенства  P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 сразу следует из ( 22 ):

Q/x = P/y

Признаки сравнения (без док.)

Терема3:

Пусть в левой(правой) окрестности точки b (точки а) определены неотрицательные функции f(x) и g(x), причем 0<=f(x)<=g(x).

Тогда 1) из сходимости н.и. 2 рода - сходится

 2)из расходимости н.и. расходится

Теорема4:(Предельный признак сравнения)

Пусть f(x) и g(x) неотрицательные, и g(x)0 на промежутке [a,b), а в точке b функция терпит разрыв 2 рода, и если существует , то

если   сходится, 0<=k<=+∞, то   - сходится.

Если  расходится, 0<=k<=+∞, то  - расходится

Ряды и их приложения. Функциональные ряды: Ряды из аналитических функций. Теоремы Вейерштрасса. Степенные ряды. Ряды Тейлора. Ряды Лорана. Изолированные особые точки, их классификация. Вычеты, их вычисление. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов. Принцип аргумента. Теорема Руше.
Радиационная и ядерная безопасность производства Атомная энергетика http://ingraft.ru/ Тройной интеграл вычислить