Интегралы и их приложения


Введение в математический анализ. Множества. Операции с множествами. Множество вещественных чисел. Функция. Область ее определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Комплексные числа и действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости.

Интегрирование функций нескольких переменных.

Двойной интеграл и его свойства.

Метод интегральной суммы.

Всякая физическая система имеет пространственные размеры и описывается набором величин, которые могут меняться при переходе от точки к точке системы. Например, тело имеет переменную плотность. Задача – вычислить общую массу тела. Решение такого типа задач и дает метод интегральной суммы.

Опр. Аддитивной величиной наз. параметр физической системы Р, который можно представить как сумму значений этого параметра от всех составных частей системы  P = pi . Например, площадь фигуры, объем тела, длина пройденного пути. Разбиение на составные части в этих случаях совершенно произвольно. Типовой расчет Правило Лопиталя Курс высшей математики

Алгоритм метода интегральной суммы.

Исследуемая физическая (геометрическая) система разделяется на n однотипных участков .

Для каждого участка устанавливается некоторое приближенное значение аддитивного параметра pi .

3. Проводится суммирование приближенных значений аддитивного параметра по всем n участкам P(n) =   pi

4. Переход к пределу lim P(n) = P при n дает точное решение задачи, т.е. определяет значение искомого, аддитивного параметра для всей системы 

Опр. Интегральной суммой наз. сумма всех приближенных значений аддитивного параметра, определенных для каждого из n участков на которые была разделена исследуемая система .

Опр.  Определенным интегралом наз. предел интегральной суммы, полученный по условиям конкретной задачи. Существуют двойные, тройные, n – мерные, криволинейные, поверхностные интегралы.

Задача о вычислении объема цилиндрического бруса.

Имеем на плоскости хОу область D , ограниченную контуром D и функцию z = f(x,y)  0 , которая определяет некоторую поверхность над D . Объем пространства, расположенный над D и ограниченный сверху поверхностью z = f(x,y) наз. цилиндрическим брусом. Его боковую поверхность образуют перпендикуляры восстановленные из всех точек контура D . Вычислим объем такого бруса методом интегральной суммы.

Операция разбиения. Разделим область D сеткой кривых на n частей D1, D2, . . . , Dn, имеющих площади si . В каждой фигуре Di выделим некоторую точку () и на на высоте f() проведем над Di плоскость параллельную хОу. В результате получим дополнительную, ступенчатую фигуру.

2. Объем элементарного цилиндра над Di равен f()si .

3. Объем всей ступенчатой фигуры определяет интегральная сумма

V(n) =  f()si ( 1 )

С ростом n точность приближения возрастает и в пределе n, при стремлении наибольшего из диаметров Di к 0 , получаем точное значение объема цилиндрического бруса

V = lim  f()si = f(x,y) dx dy при n ( 2 )

Опр. Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D на плоскости хОу наз. предел интегральной суммы, полученный разделением области D на малые участки. Переменные интегрирования определяют площади этих участков.

Геометрический смысл двойного интеграла  - объем цилиндрического бруса.

Основные свойства двойного интеграла.

Постоянный множитель выносится за знак интеграла

а f(x,y) dx dy = аf(x,y) dx dy

 т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

[f(x,y) + g(x,y)]dx dy = f(x,y) dx dy +g(x,y) dx dy

 т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части.

3. Аддитивность области интегрирования.  Если D = D1 + D2 , то

f(x,y) dx dy = f(x,y) dx dy + f(x,y) dx dy

4. Интеграл от функции  f(x) = 1 численно равен площади области интегрирования D

S = dx dy

Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла (доказать)

Теорема: Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он и сходится.

Доказательство:

Пусть несобственный интеграл  сходится.

Рассмотрим = {f(x), если f(x)>=0

 {0, если f(x)<0

  = {0, если f(x)>0

 {f(x), если f(x)<=0

  f(x)= =

Двойной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение площади области интегрирования S на значение функции f() в некоторой точке, т.к. для любого цилиндрического бруса с искривленным верхом можно построить брус постоянной высоты, но с таким же основанием S и объемом V , т.е. f() = V/S. 

Преобразования плоских областей. Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.

Поверхности второго порядка. Общий вид уравнения поверхности в R3 : F(x,y,z) = 0 .

Ряды и их приложения. Функциональные ряды: Ряды из аналитических функций. Теоремы Вейерштрасса. Степенные ряды. Ряды Тейлора. Ряды Лорана. Изолированные особые точки, их классификация. Вычеты, их вычисление. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов. Принцип аргумента. Теорема Руше.
Архитектура Франция Знакопеременные ряды Остаток ряда и его оценка Тройной интеграл вычислить