Интегралы и их приложения


Предел и непрерывность функции действительной переменной. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Замечательные пределы.

Тройной интеграл. Задача о вычислении массы тела.

Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью r(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Операция разбиения. Разделим V на n элементарных объемов DV1, DV3,V3, . . . , DVn и в пределах каждого из них выделим точку Mi().

2. Масса элементарного объема приближенно равна  r() DVi .

3. Приближенное значение массы всего тела определяет интегральная сумма

m(n) = r() DVi ( 15)

4. В пределе, когда n ® ¥ и все DVi ® 0 , получаем точное решение задачи

m = lim r() DVi º Решить уравнение  для следующего начального распределения температуры стержня

Опр. Тройным интегралом от функции трех переменных  f(x,y,z) по объему V наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения объема V на элементарные области.

J =  = ( 16 )

Прямая в пространстве образуется пересечением двух плоскостей (если их нормали не параллельны), таким образом, прямую в пространстве можно задать системой уравнений

Физический смысл тройного интеграла – масса тела переменной плотности.

Основные свойства интеграла.

10. Постоянный множитель выносится за знак интеграла

а f(x,y,z) dx dy dz = аf(x,y,z) dx dy dz

т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

20. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

 [f(x,y,z) + g(x,y,z)]dx dy dz = f(x,y,z) dx dy dz +g(x,y,z) dx dy dz

т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части.

30 . Аддитивность области интегрирования. Если V = V1 + V2 , то

f(x,y,z) dx dy dz = f(x,y,z) dx dy dz + f(x,y,z) dx dy dz

40. Интеграл от функции f(x,y,z) = 1 численно равен объему области интегрирования V

V = dx dy dz

50 . Теорема о среднем. f(x,y,z) dx dy dz = f() V

Тройной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение объема, области интегрирования V , на значение функции f() в некоторой точке, т.к. любому телу с переменной плотностью всегда можно сопоставить тело с постоянной плотность f() = m/V при таком же объеме V и массе m . Точка с координатами  () всегда существует в области V.

Вычисление интегралов.

Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.

Прямоугольные координаты - x, y, z  .

1. V - прямоугольный параллепипед ( a  x  b , c  y  d , p  z q ) , тогда

f(x,y,z) dx dy dz = dxdyf(x,y,z) dz ( 17 )

Понятие частной производной высшего порядка. Дифференциалы высшего порядка.

Пусть задана функция двух переменных z=f(x,y): dz/dx=df/dx=f’x(x,y); dz/dy=f’y(x,y) даны частные производные 1-го порядка, они в общем случае являются функциями переменных х и у, поэтому можно найти частные производные 2-го порядка: d2f/dx2= f’’xx(x,y) 

d2f/dy2= f’’yy(x,y), d2f/dydx= f’’yx(x,y); d2f/dxdy= f’’xy(x,y); Производные 2-го порядка можно снова дифференцировать как по х так и по у. Получим частные производные 3-го порядка, их будет 8 т.д.вывод:частные производные n-го порядка, есть 1-ая производная от (n-1) порядка.

 Дифференциалы высшего порядка. Полным дифференциалом 2-го порядка функции z=f(x,y) называется полный дифференциал 1-го порядка.

d2Z=D(Dz)

Dz=(dz/dx)*Dx+(dz/dy)*Dy; D2z=D((dz/dx)*Dx+(dz/dy)*Dy)=(d/dx)(.)Dx+(d/dy)(.)Dy=d2z/dx2(Dx)2+ (d2z/dydx)*(DyDx)+ +d2z/dy2(Dy)2+(d2z/dxdy)*(DyDx)= d2z/dx2(Dx)2+2(d2z/dydx)*(DyDx)+ d2z/dy2(Dy)2

Дифференциал 3-го порядка: D3z=d(d2z)= d3z/dx3(Dx)3+3(d3z/dx2dy)*(Dx)2(Dy)+ 3(d3z/dy2dx)*(Dy)2(Dx)+ d3z/dy3(Dy)3.Вывод диф-л К-ого порядка есть Dkz=D(Dk-1z)

При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменные рассматриваются как константы.

Определители и матрицы Контрольные вопросы:1. Определители. Правила вычисления определителей.

Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка.
Построение линии пересечения двух плоскостей Расчет трансформаторов малой мощности Электротехника Лекции Тройной интеграл вычислить