Интегралы и их приложения


Предел и непрерывность функции действительной переменной. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Замечательные пределы.

Действия с матрицами.

1. Суммой матриц  и  одинакового размера называется матрица  того же размера, причем , , .

2. Произведением матрицы  на число λ называется матрица  того же размера, что и матрица А, причем .

3.Произведением  матриц А и В (размеров  и  соответственно) называется матрица С размера , такая, что

 (3)

(поэлементное умножение i-й строки матрицы А на k-й столбец матрицы В). Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

4. Транспонированной к матрице  называется матрица  такая, что , , .

Матрица  называется канонической, если в начале ее главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю. Например,

.

Любая матрица А может быть приведена к каноническому виду путем элементарных преобразований:

1) перестановки столбцов (строк);

2) умножения элементов столбца (строки) на число, отличное от нуля;

3) прибавления к элементам какого-либо столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на число.

Матрицы, получаемые в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными: ~.

5. Число r единиц, стоящих на главной диагонали канонической матрицы , не зависит от способа приведения матрицы А к каноническому виду и называется рангом исходной матрицы А: r(A) = r. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок отличного от нуля минора.

Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу А приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований; количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А.

Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в следующем. Необходимо:

1. Найти какой-нибудь минор М1 первого порядка (т.е. элемент матрицы), отличный от нуля; если такого минора нет, то матрица А нулевая и ее ранг r(A) = 0.

2. Вычислять миноры второго порядка, содержащие М1 (окаймляющие М1), до тех пор, пока не найдется минор М2, отличный от нуля. Если такого минора нет, то ее ранг r(A) = 1; если есть, то . И т.д.

k. Вычислять (если они существуют) миноры k-го порядка, окаймляющие минор . Если таких миноров нет или они равны нулю, то , если есть хотя бы один минор , то  и процесс вычисления продолжается.

 При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор k-го порядка, причем искать его необходимо только среди миноров, содержащих минор

Пример 1. Найти ранг  матрицы

.

Решение.

Приведем матрицу А к каноническому виду  путем элементарных преобразований. Прибавляя к элементам первого столбца элементы третьего, а из элементов третьего вычитая элементы второго столбца соответственно, получим

А~.

Умножим элементы первого столбца на , затем вычтем из элементов третьей строки элементы первой строки соответственно:

А~~ .

Из элементов третьей строки вычтем элементы второй, умноженные на 4, а затем к элементам второго и третьего столбцов прибавим элементы первого столбца, умноженные соответственно на 3 и на 1:

А~~.

Таким образом, ранг матрицы А равен 2.

Пример 2. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

.

Решение.

Рассмотрим минор первого порядка , следовательно, ранг матрицы .

Далее рассмотрим минор второго порядка: , т.к. минор второго порядка отличен от нуля, то . Найдем значение минора третьего порядка:

, следовательно, ранг матрицы равен 3, т.е. .

6. Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Найти определитель исходной матрицы. Если = 0, то матрица А – вырожденная и обратная ей матрица  не существует. Если , то матрица А – невырожденная и обратная матрица существует.

2. Найти матрицу , транспонированную к матрице А.

3. Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы , ,  и составить из них присоединенную матрицу : , , .

4. Вычислить обратную матрицу по формуле: .

5. Проверить правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения: .

Квадратичные формы. Положительно определенная, отрицательно определенная, квазизнакоопределенная, неопределенная квадратичная форма. Достаточное условие существования экстремума в терминах квадратичной формы (сформулировать).

Некоторые сведения о квадратичных формах [к.ф.]

Опр. К.ф. от n-переменных называется функция вида Q(x1,x2,…,xn)=a11x12+a12x1x2+…+a1n+x1xn+ a2nx2x1+a22x22+…+a2n+x2xn+…+an1xnx1+an2xnx2+…+annxn2, где аi,j – действительные числа aij=aji

Краткая запись

аi,j – это коэффициенты квадратичной формы и из этих коэффициентов составляют матрицу

матрица квадратичной формы.

Опр. Миноры матрицы образованные строками и столбцами с одинаковыми номерами на главными (угловыми) минорами

Обозначаются , …

Виды квадратичных форм.

Определение

Примеры

Знако - енные

Положительно определенные

Если для любых значений х1,…,хn≠0 одновременно к.ф. принимает положительные значения

Q(x1,xn)=2x12+3x22

Отрицательно определенные

||~||

Отрицательные значения

Q(x1,xn)=- x12+x1x2- x22

квазизнакоопределенная

Неотрицательная

Если к.ф. принимает неотрицательные значения, но при этом обращается в 0, не только при х1=x2=…=xn=0

Q(x1,x2)=(x1+x2)2

Q=0, при x1= -x2

M(1;-1)

Неположительная

Если к.ф. принимает неположительные значения, но при этом обращается в 0, не только при х1=x2=…=xn=0

Q(x1,x2)=-(x12+2x1x2+x22)= -(x1+x2)2

Q=0, при x1= -x2; M(2;-2)

Квазизнакопеременая

||~||

Если к.ф. принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Q(x1,x2)=x12+x22

Q(2,1)=3>0

Q(1,2)=-3<0

Т3. Достаточный признак (условие) локального экстремума (в форме дифференциалов)

Пусть задана функция U=f(x1,…,xn) дифференцируема в некоторой окрестности т. М0 и дважды дифференцируема в т. М0, и М0 – стационарная точка du(M0)=0

Тогда если

d2u|Mo положительно отрицательный к.ф., то М0 – точка локального минимума

если d2u|Mo – отрицательно определенная квадратичная форма, то М0 – точка локального максимума.

d2u|Mo – знакопеременная к.ф. то экстремум в точке М0 отсутствует.

d2u|Mo – квазизнакопеременная к.ф. то в т. М0 может быть экстремум, может и не быть.

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса: 1) к матрице А приписать справа единичную матрицу Е той же размерности;

Метод обратной матрицы решения систем алгебраических уравнений заключается в нахождении обратной матрицы  по одному из алгоритмов, представленных в п.4, и использовании формулы для нахождения решения системы.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса: .

Однородные системы линейных уравнений Контрольные вопросы: 1. Системы линейных однородных уравнений. 2. Фундаментальная система решений.

Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка.
Курс лекций по истории искусства Обозначения шероховатости поверхности Тройной интеграл вычислить