Интегралы и их приложения


Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл Производная функции, ее смысл в различных задачах. Правила нахождения производной и дифференциала

Предел и непрерывность.

Пусть E R и a – предельная точка множества E.

Определение 1 . Будем говорить, что a –предельная точка для множества E, если любая окрестность точки a содержит бесконечное подмножество множества E.

Пусть f:E  R. Приведем несколько формулировок определения предела функции. Для разных оценок бывает удобна то одна, то другая.

Определение 2 (предел функции по Коши). Число A R называется пределом функции f(x) в точке a или при x a и это обозначается следующим образом limx  af(x) = A, если

 > 0 ()>0:  x: 0<|x-a|<  |f(x)-A|< 

Пример 1. Доказать, что limx 1(2x+3) = 5.

Запишем определение предела для данного примера Найти решение задачи Коши.

 >0  ()>0  x удовлетворяющих условию : 0<|x-1|<

должно быть выполнено неравенство

|2x+3-5|< или 2|x-1|<.

Отсюда следует, что неравенство 2|x-1|<2 выполнится, если /2. Если  = 0,1, то  = 0,05 , при  = 0,01,  = 0,005 и т.д. Таким образом, решение задачи состоит в нахождении , зависящего от .

Определение 3. Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Обозначается проколотая окрестность символом .

Определение 4 (предел функции на "языке окрестностей"). Число A  R называется пределом функции f(x) в точке a или при x a,
если для любой окрестности U(A) числа A существует проколотая окрестность точки a такая, что f()  U(A).

Приведем еще одно эквивалентное определение предела на "языке последовательностей".

Определение 5 (предел функции по Гейне). A=limx  af(x)
означает, что

 xn  a при n ; xn  a, f(xn)  A при n 

Пример 2. Покажем, что не существует предела f(x) = sin(1/x) при x 0. Для этого используем определение предела на языке последовательностей. Выберем две последовательности xn1 = 1/ n, xn2 = 1/(/2+2 n), которые обе сходятся к нулю при n. Тогда sin xn1 = sin  n=0, sin xn2 = sin (/2+2 n) = 1, Таким образом, f(xn1) и f(xn2) сходятся к разным числам, поэтому определение предела на "языке последовательностей" не выполняется.

Пример 3 . Рассмотрим функцию Дирихле

f(x) =

 1, если x Q

 0, если x R\ Q

, где Q –множество рациональных чисел, соответственно множество R\ Q – множество иррациональных чисел. Данная функция не имеет предела ни в одной точке a действительной прямой. Действительно, если выбрать последовательность рациональных чисел, сходящихся к a, то соответствующая последовательность значений функции сходится к единице. Если выбрать последовательность иррациональных значений, то значения функции сходятся к нулю. Следовательно, на основании определения предела по Гейне данная функция не имеет предела.

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Неравенство |f(x)-A|< равносильно двойному A-<f(x)<A+. Число A есть предел функции f(x) при x a, если для любого  >0 найдется такая  -окрестность точки a, что для всех x a из этой окрестности соответствующие значения функции f(x) будут заключены в полосе A-<f(x)<A+ (см. рис. 14).

Определение общего решения ДУ порядка выше первого, частное решение.

Д.У. n-го порядка называется уравнение, которое содержит независимую переменную x, искомую функцию у, ее производную n-го порядка.

Уравнение n-го порядка может быть записано в явной форме, если оно разрешено относительно старшей производной, или в неявной  

Решение Д.У. n-го порядка называется любая n раз дифференцируемая функция y=y(x), которая при подстановке в уравнение, обращает его в тождество.

Каждое уравнение n-го порядка имеет бесконечное множество решений. Выбрать из этого множества конкретное решение можно, если задать n дополнительных условий, например начальных.

Начальными  условиями для уравнений n-го порядка являются задания значений искомой функции и ее производных до (n-1)-го порядка включительно при заданном значении , , , …

Общим решением уравнения называется функция , которая удовлетворяет следующим условиям:

Функция содержит произвольные постоянные, количество которых равно порядку уравнения;

Эта функция является решением уравнения при любых значениях произвольных постоянных;

При заданных начальных условиях произвольные постоянные можно определить единственным образом так, что полученное частное решение будет удовлетворять заданным начальным условиям.

Если решение записано в неявном виде, то оно называется общим интегралом этого уравнения.

Всякое решение, которое полученное из общего решения при конкретных значениях, называется частными решениями.

Рассмотрим понятие предела функции в бесконечности. Определение 6 (предел функции в бесконечности). limx f(x) = A,если

 > 0  B() >0:  x таких, что |x| > B, выполняется |f(x)-A| < 

Пример 8. (Второй замечательный предел) e = limx (1+1/x)x Как получена данная формула можно найти в книге Зорича В.А. "Математический анализ" ч.1.

Предел монотонной функции. Определение 11 (монотонная функция). Пусть f:E  R Если для любых x1, x2  E при x1<x2 выполняется f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)), то функция f(x) возрастающая (убывающая).

Следующая теорема удобна для применения на практике при вычислении пределов. Теорема 7. Пусть f(x)~ f1(x), g(x)~ g1(x) при x a Тогда если существует предел limx af1(x)/g1(x),

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1. Основные задачи. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных. Колебательные процессы, теплопроводность и диффузия, стационарные процессы. Электромагнитное поле, уравнения Максвелла. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка и приведение их к каноническому виду. Характеристическое уравнение. Постановка основных задач: задача Коши, краевые задачи, смешанные задачи, корректность постановки задач.
Найти область сходимости функционального ряда Безопасность АЭС Атомная энергетика http://atomas.ru/ Тройной интеграл вычислить