Интегралы и их приложения


Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл Производная функции, ее смысл в различных задачах. Правила нахождения производной и дифференциала

Перечислим основные глобальные свойства непрерывных функций.

Теорема 10 (глобальные свойства непрерывных функций).

(Первая теорема Вейерштрасса) Если функция f(x) C[a,b], то она ограничена на [a,b] (см. рис. 18).

(Вторая теорема Вейерштрасса) Если f(x) C[a,b], то она достигает на [a,b] своих точных верхней и нижней граней (рис. 19) Вычислить интеграл , заданный в области . Двойные интегралы в прямоугольной области

(Теорема Коши) Если f(x) C[a,b] и f(a)f(b)<0, то существует c [a,b] f(c) = 0 (см.рис. 20).

Замечание.

Функции, не являющиеся непрерывными на данном отрезке, могут принимать точную верхнюю и точную нижнюю грани, например функция Дирихле.

Если в условиях теоремы отрезок заменить на интервал, то теорема будет неверна, например, функция 1/x на интервале (0,1) непрерывна, но не является ограниченной; функция y = x на интервале (0,1) не достигает своих точных граней.

Пример 25. Исследовать на непрерывность в точке x = 0 и установить характер разрыва функции в этой точке:

f(x) = 1/(1+21/x)

Решение.

limx -01/(1+21/x) = 1
limx +01/(1+21/x) = 0,

так как

limx +021/x = , limx -021/x = 0.

Следовательно, f(x) в точке x = 0 имеет разрыв первого рода.

f(x) =

 (1/5)(2x2+3), при -<x 1,

 6-5x, при 1<x<3,

 x-3, при 3 x<

Решение. Заметим, что на интервалах (-,1), (1,3), (3,) функция непрерывна. Поэтому разрывы возможны лишь в точках x = 1, x = 3, в которых изменяется аналитическое задание функции.

limx 1-01/5(2x2+3) = 1;
limx 1+0(6-5x) = 1;
f(1) = 1.

Таким образом в точке x = 1 функция непрерывна. Так как

limx 3-0(6-5x) = -9;
limx 3+0(x-3) = 0,

то точка x = 3 - точка разрыва первого рода.

Упражнение 2. Исследовать на непрерывность

f(x) =

 e1/x, при x 0,

 0, при x = 0;

f(x) = E(x)- целая часть числа;

f(x) = arctg 1/(x-5) в точке a=5;

f(x) =

 x+2, при x<2,

 x2-1, при x 2.

Основные виды ДУ: с разделяющимися переменными, однородные, линейные первого порядка, Бернулли, в полных дифференциалах.

Определение: Д.У. является уравнением с разделяющимися переменными, если его правая часть представляет собой, или может быть представлена в виде произведения(или отношения) 2-х функций, одна из которых зависит только от х, а другая – только от у, т.е.

  или  или  

Решение д.у. с разделяющими переменными осуществляется поэтапно:

1) Пусть исходное уравнение имеет вид 

  а) Представляем функцию в виде произведения

 F(x,y)= и используя различные алгебраические приемы.

 b) Заменяем производную отношением .Уравнение примет вид

 c) Умножаем обе части уравнения на dx и, одновременно, делим на функцию . Получим . Переменные разделены.

 d) Интегрируем обе части полученного уравнения:

 

2) Если уравнение задано в неявной форме, то следует из него выразить y’ в явном виде и далее действовать как уже было сказано.

3) Если уравнение задано в форме , то

 а) переносим второе слагаемое в правую часть;

 b) каждую из двух функций представляем в виде произведения (или отношения) сомножителей.

 с) Делим обе части уравнения на произведение функции

  d) Общий интеграл находим интегрированием

 

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1. Основные задачи. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных. Колебательные процессы, теплопроводность и диффузия, стационарные процессы. Электромагнитное поле, уравнения Максвелла. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка и приведение их к каноническому виду. Характеристическое уравнение. Постановка основных задач: задача Коши, краевые задачи, смешанные задачи, корректность постановки задач.
Тройной интеграл вычислить