Интегралы и их приложения


Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл Производная функции, ее смысл в различных задачах. Правила нахождения производной и дифференциала

Ряды.Числовые ряды.

Сложную функцию f(x) часто представляют как линейную комбинацию нескольких простых функций f(x) @ Pn(x). Это упрощает ее исследование. Чем больше простейших функций используется в Pn(x) , тем точнее приближение. При бесконечном росте числа слагаемых (n ® ¥) графики f(x) и ее апраксимации Pn(x)  могут совпасть полностью.

Задачу нахождения аппраксимирующих функций решает теория рядов.

Опр. Бесконечной числовой последовательностью наз. последовательность значений функции f(x) (определенной на всей числовой оси) при целочисленных значениях аргумента. Обозначения: un = f(n) , где n = 1, 2, 3, . . . или u1, u2, u3, . . . , un, . . . 

Пр. Если f(x) = 2x, то имеем 2,4,8, . . . , если f(x) = 1/2x, то имеем ½ ,1/4, 1/8, 1/16, . . .

Опр. Пределом числовой последовательности  un наз. число А, такое, что разность между ним и un при n ® ¥ делается бесконечно малой величиной

lim (un – A) = 0 или lim un = A при n ® ¥

Опр. Числовая последовательность наз. сходящейся если имеет конечный предел и расходящейся , если предел бесконечен.

Опр. Числовым рядом наз.сумма членов бесконечной числовой последовательности

u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . =  ( 1 ) Геометрические и физические приложения кратных интегралов Тройной интеграл

Непосредственно просуммировать ряд нельзя, т.к. число слагаемых бесконечно. Приходится вводить специальную процедуру.

Опр. Частичной суммой ряда Sn наз. сумма ее первых  n членов. Sn =  

Частичные суммы ряда ( 1 ) образуют вспомогательную числовую последовательность

S1, S2, S3, . . . , Sn, . . . , где Sn = Sn – 1 + un , которая может сходится или расходится.

Опр. Суммой числового ряда ( 1 ) наз. предел последовательности частичных сумм ряда S = lim Sn при n ® ¥ ( 2 )

Ряд наз. сходящимся, если предел ( 2 ) конечен и расходящимся, если бесконечен.

Пр. Геометрическая прогрессия: a + aq + aq2 + aq3 + . . . Её частичную сумму Sn = аумножим на (1 –q). Тогда (1–q)а= a(1 –qn) или Sn = a(1 –qn)/(1– q). При |q| < 1 Sn имеет конечный предел: S = aq/(1 – q), а при |q| > 1  бесконечный.

 Т.о., этот ряд при |q| < 1 сходится, а при |q| > 1  расходится.

 Пр. Гармонический ряд 1 + ½ + 1/3 + ¼ + . . . расходится (ниже докажем).

Основные свойства сходящихся рядов.

10  Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ряда.

Док-во.  Имеем  и. Пусть , тогда

lim Sn = lim(Sk + sn – k) = Sk + lim sn – k при n ® ¥

Если существует конечный предел слева, то существует предел и справа, т.е. укороченный ряд тоже сходится.

20 Если все члены ряда имеют общий множитель, то он является общим множителем для всего ряда  = с = с S . Это свойство пределов.

30 Почленное сложение двух рядов приводит к сложению их сумм. (Это свойство пределов)  = + = S1 + S2

Необходимый признак сходимости.

Если числовой ряд ( 1 ) сходится, то общий член ряда un стремится к нулю с ростом n

lim un = lim (Sn – Sn – 1) = S – S = 0 при n ® ¥ 

Если lim un ¹ 0 при n ® ¥ , то ряд расходится.

Определение: Д.У.  называется однородным, если его правая часть есть однородная функция своих аргументов

Для преобразования однородного уравнения к виду, с которого начинается использование подстановки, необходимо:

1)выразить в явном виде производную искомой функции из любой исходной формы записи уравнения.

2)преобразовать функцию  к виду

3)Сделать замену , которая позволит разделить переменные в полученном уравнении.

К однородным могут относиться уравнения, в которых отношения  стоят под знаком какой-либо функции.

Определение: Д.У.  является линейным, если его правая часть есть линейное выражение относительно искомой функции .

  Другими словами: всякое уравнение 1-го порядка будет линейным, если искомая функция и ее производная входят в уравнение в первых степенях и не перемножаются.

Для решения линейных уравнений используют два метода: метод Бернулли (подстановки) и метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов. 1.) Признак сравнения 1. Пусть для членов рядов (а) и (b) выполняется неравенство  0 £ un £ vn , тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость ряда  (a) и из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда (b).

Знакопеременные числовые ряды. Опр. Знакопеременным наз. числовой ряд составленный из положительных и отрицательных членов.

Радиус  сходимости. Из теоремы Абеля следует, что должно существовать такое граничное значение x =R ниже которого ряд ( 6 ) сходится, а выше расходится.

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена. Алгоритм разложения: 1) Составляем для функции f(x) ряд Тейлора ;

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1. Основные задачи. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных. Колебательные процессы, теплопроводность и диффузия, стационарные процессы. Электромагнитное поле, уравнения Максвелла. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка и приведение их к каноническому виду. Характеристическое уравнение. Постановка основных задач: задача Коши, краевые задачи, смешанные задачи, корректность постановки задач.
Однородные и линейные уравнения, уравнения высших порядков Вынужденные колебания. Резонанс Электромагнетизм Тройной интеграл вычислить