Интегралы и их приложения


Интегральное исчисление функций одной переменной. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Функции комплексной переменной.

 Комплексные числа.

Решение алгебраических уравнений – важнейшая задача математики. Стремление сделать разрешимыми уравнения различных типов приводит к необходимости расширения понятия числа.

Вид  уравнения Тип числа ____ Множество:

x + a = b отрицательные и 0

a x = b дробные

 ====== > Q - рациональных чисел

 x 2 = 2 иррациональные

  =======> R - действительных чисел

x2 + 1 = 0 комплексные

 ========= > C - комплексных чисел Предел монотонной функции Математика решение задач

 Корень уравнения х2 =  - 1 наз. мнимой единицей и обозначается символом i (Эйлер). Символ i определяется  условием i 2 = - 1 .

Опр. Комплексным числом наз. выражение вида а + b i , где а, b R , i - мнимая единица.

 Обозначения: a + b i = z , a = Re z - действительная часть КЧ,  b i = Im z - мнимая часть КЧ, b - коэффициент мнимой части. 

 При а = 0  имеем чисто мнимое число, при b = 0 - действительное число. КЧ z = a + b i и z* = a – b i наз. сопряженными , а форма записи КЧ алгебраической.

Пр. Решим уравнение x2 – 2x + 5 = 0 . 

 x1,2 = ( 2 )/2 = 1  = 1  = 1  = 1 2 i

Таким образом, корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются сопряженные КЧ.

Пример Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0

Равенство КЧ. a + b i = c + d i означает равенство коэффициентов : a = c, b = d

Сложение КЧ. (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i  - означает раздельное сложение вещественных и мнимых частей. (Это два определения.)

  Пр. z1 = 2 – 3i , z2 = 1 + 4i , z1 + z2 = 3 + i , z + z* = 2 a

Умножение КЧ. (a + b i) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c)

 Это обычное перемножение двучленов с учетом i 2 = - 1 .

 Пр. z1 z2 = 14 + 5 i , z z* = (a + b i)  (a - b i) = a2 + b2

 т.е. произведение сопряженных КЧ есть число действительное.

Деление  КЧ. Частным от деления двух КЧ z1 / z2 является третье КЧ z3 , произведение которого на делитель дает делимое z3 z2 = z1

 Для того чтобы разделить два КЧ необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на КЧ сопряженное знаменателю

 a + b i = (a + b i) (c – d i) = (a c + b d) + (b c – a d) i

 c + d i (c + d i) (c – d i) c2 + d2 

 Пр. z1 / z2 = - 10/17 - 11/17 i

Степени  i. i1 = i i4 n + 1 = i

 i2 = - 1 i4 n + 2 = - 1 Пр. i24 = 1, i59 = i 56+ 3 = - i

 i3 = - i i4 n + 3 = - i

 i4 = 1 i4 n = 1 

Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой частичной суммы, сходящегося и расходящегося ряда.

df Пусть задана бесконечная последовательность вещественных чисел а1,а2,а3,…аn,..

Выражение вида а1+а2+а3+…+аn+… называется числовым рядом

Обозн.а1+а2+а3+…+аn+…=(1) . При этом числа а1, а2, …, аn,…-члены ряда -общий член ряда (n-ый член ряда)

Построим последовательность S1=a1;S2=a1+a2;S3=a1+a2+a3;…;Sn=a1+a2+…+an;

df Числа S1,S2,…Sn-называются частичными суммами ряда (1).

df Если сущ-ет конечный предел посллед-ти частичных сумм, равный, то ряд (1) называется сходящимся. Если не  или =∞, то ряд (1) называется расходящимся.

48. Необходимый признак сходимости (с док.)

Если ряд  сх-ся, то .

Док-во: Т.к. ряд сх-ся, то , Sn=a1+a2+…+an;

Sn-1=a1+a2+…+an-1.

Поэтому Sn-Sn-1=an )= .

Следствие. (достаточный признак сх-ти ряда) Если условие

 не выполнено, т.е.  или не существует, то ряд  - расх-ся.

Геометрическая интерпретация КЧ. Действительному числу соответствует точка на числовой оси, а КЧ a + b i соответствует точка M(a;b) на координатной плоскости или её радиус-вектор .

Рассмотрим извлечение корней из действительных чисел. Пусть z = a и a > 0 , т.е. перед числом а стоит множитель 1 = (cos 0 + i sin 0) или – 1 = (cos  + i sin).

Геометрические векторы. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение. Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл. Определители второго и третьего порядка. Координатное выражение векторного и смешанного произведений.
Тройной интеграл вычислить