Интегралы и их приложения


Интегрирование рациональных дробей и некоторых иррациональных и трансцендентных функций. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Геометрические и механические приложения определенного интеграла.

Скалярное поле и его характеристики.

Опр. Скалярным полем (с.п.) наз. совокупность двух множеств: множества точек пространства M и множества чисел соответствующих этим точкам, которые определяются функцией U(M). Функция U(M) наз. функцией поля.

Если М DR2, то поле наз. плоским, если МR3 - пространственным. Поле наз. стационарным, если U(M) не зависит от времени. Точки поля с одинаковыми значениями функции образуют линии уровня на плоскости U(x,y) = C и поверхности уровня в пространстве U(x,y,z) = C 

С.п. можно представить как «слоистую» структуру, где значения поля постоянны в одном слое и меняются при переходе к соседнему слою. Различаются с.п. геометрической формой этих слоев и скоростью изменения значения при переходе от слоя к слою.

Пр. Температура неравномерно нагретого тела.

Пусть T = а(x2 + y2 – z) , тогда поверхности уровня x2+y2 = z + C образуют семейство параболоидов вращения вокруг Oz. С ростом температуры чаша поднимается вдоль Oz. Тепло от каждого параболического слоя будет передаваться перпендикулярно к его поверхности.

Производная по направлению с.п. Транспонирование матриц. Определитель транспонированной матрицы.

Имеем с.п. функции  U(x,y,z) и выделенную в пространстве точку M(x,y,z), через которую проходит прямая L в направлении, заданном единичным вектором

= {cos , cos , cos}. Определим, как будет меняться значение с.п. при перемещении вдоль L от M к произвольной точке M1.

Опр. Производной с.п. U(x,y,z) в точке M(x,y,z) по направлению  наз. предел отношения приращения функции к пройденному пути по направлению

lim [U(M1) – U(M_] / |MM1| =  при M M1 ( 20 )

Теорема. Если функция с.п. U(x,y,z) дифференцируема в некоторой области  и

= {cos , cos , cos}, то 

  =  cos  + cos  +  cos ( 21 )

Док-во. Отрезок |MM1| =  есть диагональ прямоугольного параллепипеда со сторонами  x, y, z. Он равен = . Координаты точки М1 можно записать в виде M1(x+x, y+y, z+z) = M1(x + cos , y + cos , z + cos).

По определению приращение дифференцируемой функции нескольких переменных можно представить в виде

+=+,

где lim  = 0 при 0. Перейдем к этому пределу в ( 20 ) U/l = lim

и получим формулу ( 21 ).

Пр. Вычислить производную с.п. U(M) = x2y – x z3 + 1 в точке М(1;-2;1) в направлении  = 2i – 4j + k .

*U/x|M = (2xy – z3)|M = - 5 , U/y|M = x2|M = 1 , U/z|M = -3xz2|M = -3,

|| = *U/ = -5 2/ + 1 (-4)/  -3 1/ = -17/

Ответ: В окрестности точки М в направлении вектора  функция U(M) изменяется в 17/ раз быстрее, чем аргумент, и при этом уменьшается.

Классы интегрируемых функций (три теоремы без док.)

Классы интегрируемых функций.

Теорема №1

Если   определена на [a,в] и непрерывна, то   интегрируема [a,в].

Теорема №2

Если функция  монотонна и ограничена на [a,в], то  интегрируема на [a,в].

Теорема №3

Если ограниченная функция  на [a,в] имеет конечное число точек разрыва, то  интегрируема на [a,в].

Градиент скалярного поля. Структура выражения ( 21 ) совпадает со структурой скалярного произведения двух векторов  и  :  = axbx + ayby + azbz , если величины *U/x, *U/y, *U/z понимать как координаты некоторого вектора.

Общие геометрические характеристики векторных полей. Опр. Векторными линиями поля наз. кривые, касательные к которым в каждой точке М совпадают с (M).

Если поток жидкости проходит через замкнутую поверхность, то входящие и выходящие части потока в интеграле учитываются с противоположными знаками, т.к. они по разному ориентированы относительно внешней стороны поверхности.

Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М., Наука, 1981. 2. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Шикин Е.В., Заляпин В.И. Вся высшая математика: Учебник. Т.1 - Т.6. Издательство УРСС, 2002. 3. Сборник задач по математике для втузов. Под ред. Ефимова А.В., Поспелова А.С. М., Физматлит, ч.1-4, 2001 - 2004. 4. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. М., Наука, 1999 (Физматлит, 2001).
Рассчитать ток в цепи после размыкания ключа. Примеры задач Компоновка оборудования АЭС http://ruseti.ru/ Тройной интеграл вычислить